ماهنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک مدرس. mme.modares.ac.ir

مجله مهندسی مکانیک مدرس اسفند 1396 دوره 17 شماره 12 صص 175-167 ماهنامه علمی پژوهشی مهندسی مکانیک مدرس mme.modares.ac.ir کنترل تعقیب مسیر و پایدارسازی یک ربات چرخدار توسط الگوریتم پیشبین 2 * 1 علي کيماسي خلجي مهدي زمانيان 1- دانشيار گروه مهندسي مکانيک دانشکده فني و مهندسي دانشگاه خوارزمي تهران ایران 2- استادیار گروه مهندسي مکانيک دانشکده فني و مهندسي دانشگاه خوارزمي تهران ایران * تهران صندوقپستي 15719-14911 zamanian@khu.ac.ir چکیده یکي از مباحث مطرح در حوزه رباتيک کنترل حرکت رباتهاي چرخدار ميباشد. کنترل حرکت شامل مسائل تعقيب مسيرهاي حرکت زماني و پایدارسازي حول وضعيت )موقعيت و جهتگيري( مطلوب ميشود. در مقاله حاضر این مسائل کنترلي براي ربات چرخدار داراي تریلر مورد بررسي قرار گرفته و براي این منظور یک الگوریتم کنترلي پيش بين ارائه گردیده است. بنابراین در ابتدا معادالت سينماتيکي ربات متحرک دیفرانسيلي داراي تریلر استخراج ميشود. سپس مسيرهاي حرکت زماني مرجع براي ربات توليد گردیده و در ادامه یک قانون کنترل پيش بين براي حل مسائل کنترلي تعقيب مسيرهاي مرجع و پایدارسازي حول وضعيتهاي مطلوب طراحي شده است. روش کنترل پيشبين از اطالعات موجود بر مبناي معلوم بودن مقادیر مسير مرجع در زمانهاي آینده به منظور کنترل سيستم در زمان حال بهرهبرداري مينماید. بر این مبنا خطاي موقعيت نسبت به مسير مرجع در زمآنهاي آینده به منظور توليد ورودي کنترلي در زمان حال مورد استفاده قرار ميگيرد. این روش براي مسائل کنترلي فوقالذکر توسعه داده شده و به ربات چرخدار اعمال گردیده است و آنرا به صورت مجانبي حول وضعيتهاي مطلوب پایدار ميسازد. در پایان نتایج بهدست آمده براي تعقيب مسيرهاي مرجع مختلف و پایدارسازي حول وضعيت مطلوب ارائه ميگردد که کارایي روش پيشنهاد شده را نشان ميدهد. اطالعات مقاله مقاله پژوهشي کامل دریافت: 19 شهریور 1396 پذیرش: 07 آبان 1396 ارائه در سایت: 10 آذر 1396 کليد واژگان: ربات متحرک چرخدار داراي تریلر سيستمهاي غير هولونوميک تعقيب مسيرهاي حرکت زماني کنترل پيشبين Trajectory tracking and stabilization of a tractor-trailer wheeled robot using model predictive control Mehdi Zamanian *, Ali Keymasi Khalaji Department of Mechanical Engineering, Kharazmi University, Tehran, Iran * P.O.B. 15719-14911, Tehranو Iran, zamanian@khu.ac.ir ARTICLE INFORMATION Original Research Paper Received 10 September 2017 Accepted 29 October 2017 Available Online 01 December 2017 Keywords: Wheeled mobile robot Nonholonomic systems Trajectory tracking Stabilization Predictive control ABSTRACT One of the main topics in the field of robotics is the motion control of wheeled mobile robots. Motion control encompasses trajectory tracking and point stabilization problems. In this paper these control problems will be considered for the tractor-trailer wheeled robots and a predictive control algorithm is developed for solving these problems. Therefore first kinematic model of the tractor_trailer robot is developed. Next, reference trajectories is produced for the system. Subsequently, predictive control law is designed for the trajectory tracking and point stabilization problems. Predictive control based on the known values of reference trajectories in the future, produces the control inputs in present time. Consequently the error signal with respect to the reference trajectory in future will be used in order to control the system at the present instant of time. This method is developed for solving the aforementioned control problems and is employed on the tractor_trailer wheeled robot. As can be seen from the results, the proposed control algorithm steer the wheeled robot asymptotically follow reference trajectories. Obtained results from the implementation of the proposed method for solving trajectory tracking and point stabilization problems, demonstrate the effectiveness of the presented algorithm. 1- مقدمه استفاده از روباتهاي متحرک در کاربردهاي متنوعی توسعه يافتهاست. روباتهاي چرخدار از جمله متداولترين روباتهاي متحرک میباشند. چرخ يکی از بهترين مکانيزمهاي حرکت در روباتهاي متحرک و وسايل ساخت بشر است و يک وسيلهي چرخدار در عين سادگی مکانيزم داراي بازدهی بااليی میباشد مصرف انرژي آنها پايين و نسبت به ساير مکانيزمهاي حرکت داراي سرعت بيشتري میباشند. روباتهاي چرخدار با فرض غلتش بدون لغزش چرخها از جمله سيستمهاي مقيد به قيدهاي غيرهولونوميک به حساب میآيند. اهميت کنترل سيستمهاي غيرهولونوميک به خاطر مباحث جذاب و کاربردهاي فراوان آن در صنعت و تحقيقات روز بهروز افزوده میشود [3-1]. در مرجع [4] ساختارهاي مختلف روباتهاي متحرک چرخدار و انواع مدلهاي ارائه شده براي آنها آمده است. در مرجع [5] خالصهاي از روشهاي کنترلی مورد استفاده براي سيستمهاي غيرهولونوميک آمده است. در اين زمينه تحقيقات براي رسيدن به سيستمهاي چرخدار کام اال Please cite this article using: برای ارجاع به این مقاله از عبارت ذیل استفاده نمایید: M. Zamanian, A. Keymasi Khalaji, Trajectory tracking and stabilization of a tractor-trailer wheeled robot using model predictive control, Modares Mechanical Engineering, Vol. 17, No. 12, pp. 167-175, 2018 (in Persian)

اتوماتيک و خودکار در حال انجام است. براي رسيدن به اين هدف گامهاي مختلفی بايد برداشته شود که يکی از آنها توسعه روشهاي کنترلی و ارائه الگوريتمهاي مناسب در کنترل اين دسته از سيستمهاست بدين منظور مسائل کنترلی متنوعی مورد توجه محققان قرار گرفته است از جمله اين مسائل کنترلی میتوان به تعقيب مسير در فضاي کارتزين [7,6] پايدارسازي حول وضعيتهاي مطلوب [8,9] و تعقيب مسيرهاي حرکت زمانی [10,11] اشاره نمود. در اين مقاله مسائل تعقيب مسيرهاي حرکت زمانی و پايدارسازي حول وضعيتهاي مطلوب مورد توجه قرار گرفته است. در گذشته الگوريتمهاي کنترلی مختلفی براي اين مسائل ارائه گرديده است که از جمله آنها میتوان به قوانين کنترل تطبيقی [13,12] کنترل مد لغزشی [16-14] روشهاي غيرمبتنی بر مدل [17,2] کنترل بهينه [18] کنترل فازي [20,19] و سوئيچينگ [9,8] اشاره نمود. اما يکی از روشهايی که کمتر مورد توجه قرار گرفته روش کنترل پيشبين است که در اين مقاله به آن پرداخته شده است. اين روش در کنترل سيستمهاي مکانيکی و صنعتی بهطور گسترده اي مورد استفاده قرار گرفته است. روش کنترل پيشبين بر اين اساس است که با توجه به آنکه مقادير مسير مرجع در زمانهاي آينده معلوم است بنابراين میتوان از اطالعات موجود به منظور کنترل سيستم استفاده نمود. بر اين مبنا موقعيت مسير مرجع در زمانهاي آينده به منظور توليد ورودي کنترلی در زمان حال مورد استفاده قرار میگيرد. در در اين روش از يک مدل پيشنهادي براي سيستم استفاده میکنند و با داشتن اختيار خروجیهاي مطلوب سيستم و همچنين پيشبينی خروجیهاي آينده سيستم خطاي ميان آنها را محاسبه میکنند. سيگنال کنترلی از طريق مينيممسازي تابع هزينهاي برمبناي خطاي معرفی شده توليد و به سيستم اعمال میشود [21]. به طور کلی در الگوريتم کنترل پيش بين به دنبال حداقل کردن يک تابع هزينه هستيم. در روشهاي مختلف کنترل پيشبين ما با تابعهاي هزينه مختلف برخورد میکنيم که هر کدام از اين توابع قانون کنترل مربوط به خود را نتيجه میدهند. همچنين اين روش به سادگی قابل اعمال به سيستمهاي ناپايدار و نامينيمم فاز میباشد. از ديگر مزيتهاي اين روش آن است که کنترل پيشبين مقاومت خوبی دارد و در محيطهاي پر از اغتشاش به خوبی عمل مینمايد و اين به خاطر اين است که بخش انتگرالی به طور ذاتی در ساختار به واسطه فرضيات در نظر گرفته شده در مورد مدل وجود دارد همچنين با استفاده از اين روش امکان اعمال قيود بر روي متغيرها در طراحی کنترلکننده وجود دارد. اين ويژگیها کاربرد اين روش در سيستمهاي کنترلی را توسعه داده و در همين راستا اين مقاله به ارائه يک الگوريتم کنترلی پيشبين براي کنترل ربات چرخدار داراي تريلر میپردازد. در [22] يک الگوريتم کنترل پيشبين براي يک ربات چرخدار ارائه شده است. در مرجع [23] يک روش کنترلی پيشبين بر مبناي شبکههاي عصبی براي يک ربات چرخدار ارائه شده است. در مرجع [24] نيز يک روش کنترل پيشبين براي يک ربات چرخدار برمبناي خطیسازي مورد استفاده قرار گرفته است. اما در تحقيقات انجام شده روشی براي رباتهاي چرخدار داراي تريلر ارائه نشده است. بنابراين با توجه به کاربرد گسترده سيستمهاي داراي تريلر در سيستمهاي حمل و نقل و کشاورزي و مورد توجه قرار گرفتن هدايت خودکار اين سيستمها در اين مقاله کنترل يک سيستم داراي تريلر توسط کنترل پيشبين مورد بررسی قرار گرفته است. در ادامهي اين مقاله ابتدا مدل رياضی روبات متحرک دو چرخ ديفرانسيلی به همراه يک تريلر استخراج گرديده و مسيرهاي حرکت مرجع براي تعقيب ربات مرجع توليد شده است. سپس ديناميک خطاي تعقيب استخراج شده و يک الگوريتم کنترلی پيشبين براي براي تعقيب مسيرهاي مرجع طراحی میگردد. همچنين با تغييراتی در الگوريتم طراحی شده از آن در حل مساله کنترلی پايدارسازي حول وضعيتهاي مطلوب استفاده میشود. نتايج بدست آمده عملکرد مناسب روش کنترلی طراحی شده را نشان میدهد. 2- توصیف سیستم و مدلسازی همانگونه که در "شکل 1" نمايش داده شده است روبات مورد نظر از يک ترکتور به همراه يک تريلر تشکيل شده است. ترکتور يک روبات دو چرخ ديفرانسيلی میباشد که براي حفظ پايداري حرکت آن يک چرخ کستر هم در ساختار آن به کار رفته است. تريلر نيز داراي دو چرخ هم محور غيرفعال است. در اين سيستم چرخهاي ديفرانسيلی ترکتور داراي عملگر بوده و حرکت روبات از طريق آنها رقم میخورد. اتصال ميان ترکتور و تريلر از طريق پين غيرفعال P 0 برقرار میباشد. نقاط C 0 و C 1 به ترتيب نشان دهندهي مرکز جرم ترکتور و تريلر میباشند. همچنين φ r و φ l به ترتيب نمايش دهندهي جابجايی زاويهاي چرخهاي سمت راست و چپ ترکتور هستند. d فاصلهي ميان نقاط P 0 و P 1 را نمايش میدهد و a 0 و a 1 به ترتيب فاصلهي ميان نقاط P 0 و C 0 و نقاط P 1 و C 1 میباشند. اين ابعاد در "شکل 1" نمايش داده شدهاند. وضعيت ربات متحرک داراي تريلر با بردار مختصات تعميم يافتهي q = (x y θ 1 θ 0 ) T نشان داده میشود که در آن y) (x, مختصات نقطهي P 1 میباشد و θ 0 و θ 1 به ترتيب جهتگيري ترکتور و تريلر نسبت به دستگاه مرجع را نشان میدهند. اين سيستم در مراجعی همچون [1,10] نيز مورد تحليل قرار گرفته است. براي حرکت روبات فرضياتی در نظر گرفته شده است. حرکت روبات به صورت صفحهاي در نظر گرفته شده است. چرخهاي روبات در جهت جانبی لغزش ندارند. چرخهاي روبات در حرکت رو به جلو غلتش خالص مینمايند. با اين فرضيات در مدلسازيهاي روبات قيود غيرهولونوميک حاکم بر سينماتيک روبات استخراج شده است. چرخهاي محور ثابت بهکار رفته در ساختار روبات به خاطر فرضيات عدم لغزش در جهت جانبی و غلتش خالص در حرکت رو به جلو محدوديتهايی y j Fig. 1 Differential drive wheeled mobile robot towing a trailer شکل 1 ربات متحرک چرخدار به همراه يک تريلر b P 0 a 1 C 1 θ 1 ψ l P 1 d x C 0 ψ r φ r i 861

براي حرکت روبات ايجاد مینمايند. بنابراين قيدهاي سينماتيکی براي يک چرخ محور ثابت بيانگر اين موضوع میباشند که سرعت مرکز چرخ موازي صفحهي چرخ بوده )شرط عدم لغزش( و با سرعت دوران چرخ متناسب است )شرط غلتش خالص(. اين قيدهاي سينماتيکی از نوع غيرهولونوميک میباشند يعنی بيانگر يک محدوديت در ردهي سرعتها میباشند و حذف مختصات اضافی در چنين سيستمی امکانپذير نيست. در واقع قيدهاي غيرهولونوميک سطح دسترسی روبات را نمیکاهند بلکه قابليت مانور آن را کاهش میدهند. بيان رياضی اين قيود به رابطهاي منتهی میشود که نسبت به سرعتهاي تعميميافته خطی است و به صورت رابطهي زير بيان میگردد. a j (q)q = 0 (j = 1,..., m) (1) قيود سيستم در فرمت ماتريسی نيز به صورت زير میباشند: A(q)q = 0 (2) که در آن A(q) ماتريس قيدي n m میباشد. n تعداد قيدهاي سيستم و m تعداد مختصات تعميميافتهي سيستم است. براي ربات متحرک چرخدار داراي تريلر ماتريس قيدي بهصورت زير بهدست میآيد: A(q) = ( sin θ 1 cos θ 1 0 0 sin θ 0 cos θ 0 d cos(θ 0 θ 1 ) 0 ) (3) در اينصورت ماتريس S(q) با رتبه m وجود دارد که شامل بردارهاي مستقل خطی میباشد که فضاي تهی ماتريس قيدي را افراز میکنند به طوريکه: S T (q)a T (q) = 0 ماتريس S(q) براي ربات متحرک چرخدار داراي تريلر بهصورت زير میباشد: cos θ 1 0 sin θ 1 0 S(q) = 1 d tan(θ 0 θ 1 ) 0 ( 0 1) (5) بنابراين مدل سينماتيکی ربات متحرک چرخدار داراي تريلر را میتوان (4) به صورت زير بيان نمود: q = S(q)u u = u) 1 بردار وروديهاي سينماتيکی مستقل (6) که در آن u (2 T سيستم است. u 1 سرعت خطی نقطهي P 1 و u 2 سرعت زاويهاي ترکتور میباشد. اين وروديها با سرعتهاي دورانی چرخهاي ديفرانسيلی به صورت زير مرتبط میباشند: u 1 = r { 2 (φ r + φ l ) cos(θ 1 θ 0 ) u 2 = r 2b (φ r φ l ) (7) که در آن r شعاع چرخهاي داراي عملگر ربات است. b نصف فاصلهي ميان چرخهاي ربات است. φ r و φ l به ترتيب سرعتهاي زاويهاي چرخهاي سمت راست و چپ داراي عملگر ربات میباشند. 3- طراحي مسیرهای حرکت زماني مرجع فرض میکنيم که مسير حرکت خروجی در دستگاه مختصات کارتزين به صورت زير داده شده است. { x = x r (t) y = y r (t) (8) از اين اطالعات میتوان متغيرهاي حرکت ربات روي مسير مرجع را بدست آورد. متغيرهاي سينماتيکی مرجع ربات متحرک بايد از طريق حل سينماتيک ربات روي مسير مطلوب ربات بهدست آيد تا مسيرهاي حرکت زمانی توليد شده براي ربات ما قابل پيمايش باشد مسيرهاي حرکت زمانیاي که به اين ترتيب توليد نشوند براي مسئلهي تعقيب ربات متحرک مناسب نمیباشند [25]. بنابراين متغيرهاي مرجع ربات روي مسير در نظر گرفته شده در فضاي کارتزين از طريق روابط )6( محاسبه میگردند. از روابط )6( نخستين ورودي سينماتيکی به صورت زير محاسبه میشود. u 1r = x r 2 + y r2 (9) همچنين θ 1r را میتوان به صورت زير محاسبه نمود: θ 1r = atan2{y r, x r } (10) که atan2 معکوس تابع تانژانت در يک دور کامل میباشد. حال با مشتقگيري از رابطهي فوق و ترکيب نتايج u 1r حذف شده و به رابطهي زير میرسيم. y r (t) x r (t) x r (t) y r (t) θ 1r (t) = (11) u 2 1r (t) همچنين θ 0r نيز به صورت زير بهدست میآيد. d θ 1r θ 0r = θ 1r + atan ( ) (12) u 1r با مشتقگيري از رابطهي فوق و جايگزينی در رابطهي چهارم روابط )6( ورودي دوم به صورت زير بهدست میآيد. u 2 = θ 1r + d u 1r (y r x r x r y r ) u 1r 2 3(y r x r x r y r )(x r x r + y r y r) u 6 1r + d 2 (y r x r x r y r )2 (13) 4- کنترل تعقیب مسیرهای حرکت زماني کنترل تعقيب مسيرهاي حرکت زمانی يکی از مهمترين مسائل کنترلی در زمينه رباتهاي متحرک چرخدار است که در مراجع مختلف مورد تحليل قرار گرفته است [11]. بهمنظور کنترل تعقيب مسيرهاي حرکت زمانی ابتدا ديناميک خطاي تعقيب سيستم را تشکيل میدهيم. بنابراين در صورتی که قانون کنترلی برمبناي ديناميک خطاي توليد شده به دست بيايد و اين ديناميک خطا را پايدار سازد میتوان نتيجه گرفت که با الگوريتم طراحی شده خطاي تعقيب با گذشت زمان از بين خواهد رفت [1]. به بيان ديگر میخواهيم قانون کنترل فيدبک ) r u = u(q, q, q r, u را براي سيستم بيابيم به طوري که خطاي تعقيب q = q q r پايدار گردد. در ادامه به حل اين مسأله کنترلی میپردازيم. يک بردار خطاي نگاشت يافته به صورت زير در نظر میگيريم که طبق رابطهي زير تعريف شده است. e = Tq e = (e 1 e 2 e 3 e 4) T ماتريس تبديل T متغيرهاي (14) که در آن خطاي تعقيب را به يک فضاي جديد نگاشت میدهد. ماتريس تبديل T را به صورت زير تعريف مینماييم. cos θ 1 sin θ 1 0 0 sin θ T = ( 1 cos θ 1 0 0 ) 0 0 1 0 0 0 0 1 (15) کامالا مشخص است که اگر وروديهاي کنترلی به نحوي تعيين گردند که معادالت خطا در مبدأ پايدار شوند متغيرهاي حرکت ربات متحرک به صورت q = (x y θ 1 θ 0 ) T مسير حرکت زمانی مرجع به فرم کلی q r = (x r y r θ 1r θ 0r ) T را تعقيب خواهند نمود بنابراين میتوان از تبديل مزبور استفاده نمود. حال از رابطهي )14( نسبت به زمان مشتق میگيريم تا معادالت ديفرانسيل خطاي تعقيب بهدست آيد. 866

e(k + 2 k) = A(k + 1)e(k + 1 k) + Bu (k + 1 k) e(k + N k) = A(k + N 1)e(k + N 1 k) +Bu (k + N 1 k) (24) بر همين اساس تابع هدف معرفی e = T q + Tq (16) يا به عبارت ديگر ( 17 )با ) r e = T (q q r ) + T(q q سادهسازي رابطهي فوق میتوان به رابطهي کلی زير به عنوان ديناميک خطاي سيستم دست يافت: e = f(e, q r, u r, u) (18) حال با تقريب خطی ديناميک خطاي فوقالذکر با استفاده از سري تيلور حول وضعيت تعادلی سيستم که همان مسيرهاي حرکت مرجعاند و صرفنظر از جمالت مراتب باال میتوان به رابطه زير دست يافت: e = f q f (q q r ) + u (u u r ) (19) با جايگذاري از معادله )14( خواهيم داشت: e = f q T 1 f e + u u (20) که در آن u = u u r میباشد. معادله فوق تقريبی خطی از ديناميک و خطاي سيستم است که با تقريب اويلر میتوان آن را به صورت گسسته زير بيان کرد: e(k + 1) = A(k)e(k) + B(k)u (k) (21) که در آن ماتريسهاي A و B به صورت زير خواهند بود: A = I 4 4 + T f q T 1 Tu 1 1r tan(θ d 0r θ 1r ) = Tu 1r tan(θ d 0r θ 1r ) 1 0 0 [ 0 0 0 0 B = T f u = 4 4 است. Tu 1r 0 Tu 1r Tu 1r 1 d cos 2 (θ 0r θ 1r ) d cos 2 (θ 0r θ 1r ) 0 1 ] T 0 0 0 T d tan(θ 0r θ 1r ) 0 [ 0 T] (22) که در آن T ثابت زمانی سيستم و ماتريس واحد I 4 4 در طراحی الگوريتم کنترلی به روش کنترل پيشبين با در اختيار داشتن خروجیهاي مطلوب سيستم و همچنين پيشبينی خروجیهاي آينده سيستم خطاي ميان آنها را محاسبه میکنند [21]. سيگنال کنترلی از طريق مينيممسازي تابع هزينهاي بر مبناي خطاي معرفی شده توليد و به سيستم اعمال میگردد. اين تابع هزينه به صورت زير محاسبه می شود: N J(u, k) = e T (k + i k) Q e(k + i k) i=1 +u T(k + i 1 k) R u (k + i 1 k) (23) که در آن Q و R ماتريسهاي وزنی و N افق پيشبينی میباشد. به عبارت ديگر مجموع تخمين مربعات خطاهاي آينده سيستم )شامل خطاي مختصات تعميميافته و وروديهاي سيستم( تا افق پيشبينی )N( تابع هدفی را میسازد که با کمينه کردن آن به دنبال محاسبه وروديهاي کنترلی هستيم. با محاسبه خطاها در لحظات آينده از رابطهي ديناميک خطاي سيستم تا e(k + 1 k) = A(k)e(k) + Bu (k) افق پيشبينی )N( روابط زير را خواهيم داشت: ماتريسی زير نوشت: شده را میتوان به فرمت برداري- J(u, k) = E T (k + 1) Q E(k + 1) + U T (k) R U(k) (25) که در آن بردارهاي U و E به صورت زير معرفی میشوند: e(k + 1 k) u (k) e(k + 2 k) u (k + 1 k) E(k + 1) = [ ] ; U(k) = [ ] e(k + N k) u (k + N 1 k) (26) همچنين ماتريسهاي وزنی Q و R نيز به شکل زير بيان میگردند: Q 0 0 R 0 0 Q = [ 0 Q 0 ] ; R = [ 0 R 0 ] 0 0 Q 0 0 R (27) براساس تعاريف فوق ديناميک خطاي سيستم را به صورت برداري ماتريسی به شکل زير می توان بيان نمود: E(k + 1) = A(k)E(k) + B(k)U(k) (28) که در آن A(k k) A(k k)a(k + 1 k) A(k) = N 1 A(k + j k) [ j=0 ] B(k k) A(k + 1 k)b(k k) B(k) = N 1 j=2 N 1 A(k + j k) B(k k) [ j=1 0 0 B(k + 1 k) 0 A(k + j k) B(k + 1 k) B(k + N 1 k) ] (29) با قرار دادن رابطهي )25( در )28( میتوان به رابطهي زير رسيد: J(u, k) = 1 2 UT (k) H(k) U(k) + F T (k) U(k) + d(k) که در آن (30) H(k) = 2(B T (k) Q B(k) + R) F(k) = 2 B T (k) Q A(k) e(k k) d(k) = e T (k k) A T (k) Q A(k) e(k k) (31) با کمينه کردن تابع هدف بردار ورودي محاسبه سيستم میشود. براي J U = H(k) U(k) + FT (k) = 0 اين منظور خواهيم داشت: بنابراين: (32) U(k) = H 1 (k) F T (k) (33) با استفاده از روابط )26( و )33( میتوان نتيجه گرفت: u (k) = [I 2 2 0 2 N ]U(k) (34) که در آن 2 2 I ماتريس همانی 2 2 بوده همچنين ورودي کنترلی سيستم به صورت زير محاسبه میشود: u(k) = u (k) + u r (k) (35) 5- پایدارسازی حول وضعیتهای مطلوب در مسئلهي پايدارسازي حول يک وضعيت معين هدف رسيدن شاسی روبات به يک وضعيت مطلوب )موقعيت و جهتگيري( میباشد [9,8]. در حقيقت

مسئلهاي که با آن روبرو هستيم پايداري مجانبی نقطهي تعادل يک سيستم کنترلپذير چند ورودي چند خروجی غيرمربعی است [26]. براي حل اين مساله کنترلی مشابه حالت قبل تابع هدف معرفی شده را میتوان به صورت زير نوشت: N 1 J(u, k) = e T (k + i k)q e(k + i k) N i=1 + u T(k + i 1 k) R u (k + i 1 k) i=1 +e T (k + N k)p e(k + N k) (36) که در آن نسبت به حالت تعقيب مسير جمله پنالتی زمان نهايی بهصورت N k) e T (k + N k)p e(k + اضافه شده است و میتوان ماتريس وزنی P را چندين برابر بزرگتر از Q در نظر گرفت تا اهميت بيشتري به وضعيت نهايی سيستم اختصاص دهد بنابراين در نهايت به وضعيت نهايی همگرا گردد. همچنين میتوان ماتريس وزنی Q را بهصورت متغير با زمان در نظر گرفت تا اهميت موقعيتهاي سيستم نسبت به وضعيت نهايی پله پله بيشتر گردد. يک انتخاب میتواند بهصورت Q(i) = e i Q باشد. در اين حالت در روابط کنترلی 1 4 = 0 r q فرض شده و بهعنوان وضعيت نهايی سيستم در نظر گرفته شده است و بنابراين بردار خطا به صورت e = Tq در نظر گرفته میشود. بر اين اساس شبيهسازيها انجام شده و در ادامه ارائه شده است. 6- نتایج بهدست آمده در اين قسمت به منظور بررسی کارايی کنترلر پيشنهادي نتايج بهدست آمده ارائه شده است. مشخصات هندسی و مقادير پارامترهاي سيستم در جدول 1 ارائه شده است. مطلوب آن است که ربات داراي تريلر با اعمال ورودي کنترلی مسير مرجع موردنظري را دنبال نمايد. دياگرام کنترلی سيستم در "شکل 2" نمايش داده شده است. پارامترهاي کنترلی نيز در جدول 2 ارائه شده است. در تحليلهاي انجام شده حد اشباع وروديهاي سينماتيکی به صورت زير در نظر گرفته شده است: در Fig. 2 Control diagram for the tractor-trailer robot شکل 2 دياگرام کنترلی ربات ترکتور-تريلر 1-6- نتايج حاصل از کنترل تعقيب مسيرهاي حرکت زماني براساس ورودي کنترلی محاسبه شده طبق رابطه )36( و اعمال آن به سيستم ربات چرخدار داراي تريلر نتايج محاسبه گرديده است. همانگونه که انتظار میرود با شروع از شرايط اوليه دلخواه و با گذشت زمان محدودي خطاهاي تعقيب مسير ربات حول صفر همگرا شده و پاسخهاي گذراي سيستم از بين رفته و تعقيب مسيرهاي حرکت مرجع به خوبی صورت پذيرفته است. در "شکل 3" مسير حرکت ربات و مسير مرجع سينوسی در صفحهي حرکت با شروع از شرايط اوليهي مختلف نشان داده شدهاند. مسير مرجع در نظر گرفته شده در فضاي کارتزين بهصورت زير است: ( 38 )شرايط اوليه ) τ y r = sin ( t τ ) ; x r = ( t "شکل ترسيم شده است. در ي سيستم نيز مقادير زير در نظر گرفته شده است: q 1 (0) = [0.5 2 π π T 2 2 ] q 2 (0) = [ 1 0.5 0 0] T q 3 (0) = [ 1 2 0 0] T q 4 (0) = [ 1 0.2 0 0] T 4" سيگنالهاي خطاي کنترلی براي تعقيب مسير ربات "شکلهاي 5" نيز وروديهاي کنترلی ارائه شدهاند. در "شکل 3" مشاهده میشود که مسير مرجع سينوسی در صفحه کارتزين توسط ربات با شروع از شرايط اوليه مختلف خارج از مسير به خوبی دنبال شده است. با توجه به "شکلهاي 3 و 4" کامالا مشخص است که ربات متحرک با خطاهاي اوليهي مختلف تا بيش از 2.5 متر نسبت به مسير مرجع شروع به حرکت نموده و در زمانی حدود 5 ثانيه تقريبا خطاهاي کنترلی از بين رفته است و ربات به خوبی مسير سينوسی در فضاي کارتزين را دنبال نموده است. u r Trajectory Planner q r q q e = Tq Predictive Control u u Mobile Robot u 1 u 1max u 1 u 1max (37) جدول 1 مقادير پارامترهاي سيستم پارامتر توصيف Table 1 System parameters مقدار 0.170 0.026 طول P 0 P 1 شعاع چرخها d r 2b فاصله بين چرخهاي ربات 0.119 Fig. 3 Motion path for the robot and the sinusoidal reference path in planar motion for different initial conditions شکل 3 مسير حرکت ربات و مسير مرجع سينوسی در صفحهي حرکت براي شرايط جدول 2 پارامترهاي کنترلی پارامتر توصيف Table 2 Control parameters مقدار T ثابت زمانی سيستم 0.02 N افق پيشبينی کنترلکننده 100 R ماتريس وزنی کنترلکننده diag([5,5,.01,.01]) Q ماتريس وزنی کنترلکننده diag([0.1,0.1] τ پارامتر مسير مرجع 10 u 1max حد اشباع ورودي اول سينماتيکی 1.5 m/s u 1max حد اشباع ورودي دوم سينماتيکی اوليهي مختلف 1.5 rad/s 878

Fig. 6 Motion path for the robot and the circular reference path in planar motion for different initial conditions شکل 6 مسير حرکت ربات و مسير مرجع دايروي در صفحهي حرکت براي شرايط Fig. 4 Error signals for the tracking of Sinusoidal reference path (for IC1) شکل 4 سيگنالهاي خطاي کنترلی براي تعقيب مسير سينوسی )حالت )IC1 Fig. 5 Kinematic control inputs (for IC1) شکل 5 وروديهاي کنترلی سينماتيکی )حالت )IC1 همانگونه که مالحظه میگردد وروديهاي کنترلی هموار و داراي مقادير و دامنه تغييرات و سرعت تغييرات معقولی میباشند و در زمان مقدار وروديها داراي پرش نمیباشند. اين موضوع نشاندهنده انتخاب مناسب بهرههاي کنترلی است که با داشتن عملکرد مناسب سيستم حلقه بسته وروديهاي کنترلی مناسبی نيز داشته باشيم. در "شکلهاي 6 و 7" مسير حرکت ربات به ترتيب در تعقيب مسير مرجع دايروي و خطی در صفحهي حرکت با شروع از شرايط اوليهي مختلف نشان داده شده است. مسيرهاي مرجع در نظر گرفته شده در فضاي کارتزين بهصورت زير است: اوليهي مختلف حدود 10 ثانيه تقريبا خطاهاي کنترلی از بين رفته و ربات حرکت مطلوب خود در تعقيب مسير دايروي در فضاي کارتزين را گرفته است. شرايط اوليهي سيستم در تعقيب مسير خطی نيز مقادير زير در نظر گرفته شده است: در "شکل 7" q 1 (0) = [0.7 0.2 0 0] T q 2 (0) = [ 0.5 0.5 0 0] T q 3 (0) = [ 1 0.2 0 0] T q 4 (0) = [ 0.5 0.2 0 0] T مشاهده میشود که مسير خطی در صفحه کارتزين توسط ربات متحرک با شروع از شرايط اوليه مختلف خارج از مسير پس از پاسخ گذراي خود به خوبی دنبال گرديده است. 2-6- نتايج حاصل از پايدارسازي سيستم در اين قسمت نتايج حاصل از پايدارسازي سيستم حول مبدأ ارائه گرديده است. در "شکل 8" مسير حرکت ربات متحرک در پايدارسازي حول وضعيت مطلوب نشان داده شده است. با توجه به "شکل 8" نيز کامالا مشخص است که پايدارسازي حول x r = t τ ; y r = t τ Fig. 7 Motion path and the linear reference path in planar motion for different initial conditions شکل 7 مسير حرکت ربات و مسير مرجع خطی در صفحهي حرکت براي شرايط x r = sin ( t τ ) ; y r = cos ( t τ ) (39) شرايط اوليهي سيستم در تعقيب مسير دايروي نيز مقادير زير در نظر گرفته شده است: "شکل در q 1 (0) = [0 6" 0.5 0 0] T q 2 (0) = [0 0 0 0] T q 3 (0) = [0 1.5 0 0] T q 4 (0) = [ 1 2 0 0] T مشاهده میشود که مسير مرجع دايروي در صفحه کارتزين توسط ربات متحرک با شروع از شرايط اوليهي خارج از مسير به خوبی دنبال گرديده است. با توجه به "شکل 6" کامالا مشخص است که ربات متحرک با خطاي اوليهاي بيش از 1.5 متر شروع به حرکت نموده و در زمانی اوليهي مختلف

در "شکل 12" مشاهده میشود که مسير دايروي در صفحه کارتزين Fig. 9 Motion path for the robot and the sinusoidal reference path in planar motion in presence of measurement noise شکل 9 مسير حرکت ربات و مسير مرجع سينوسی در صفحهي حرکت در حضور Fig. 8 Motion path of the robot in stabilization around the origin for different initial conditions شکل 8 مسير حرکت ربات در پايدارسازي حول مبدأ با شرايط اوليه مختلف وضعيت مطلوب در فضاي کارتزين براي ربات متحرک انجام شده است و الگوريتم ارائه شده عملکرد مناسبی را نشان میدهد. نتايج بدست آمده نشان میدهد الگوريتم کنترل پيشبين عملکرد مناسبی در کنترل حرکت ربات چرخدار داراي يک تريلر در تعقيب مسيرهاي مرجع زمانی از خود نشان میدهد. همانگونه که مشاهده میشود براي مسيرهاي مرجع مختلف با شروع از شرايط اوليه متنوع پس از زمانی محدود ربات چرخدار خود را به مسير مرجع رسانده و در يک حاشيه مناسبی از آن قرار گرفته است. خطاهاي کنترلی همانگونه که انتظار میرفت با گذشت زمان به صفر همگرا شده و از بين میروند. در نتيجه رباتهاي پيرو در آرايش تعيين شده مطلوب خود در وضعيت موردنظر نسبت به مسير مرجع قرار میگيرند. وروديهاي کنترلی توليد شده داراي مقادير مناسبی میباشند و در محدوده معقولی قرار دارند. نويز اندازهگيري Fig. 10 Error signals for the tracking of Sinusoidal reference path in presence of measurement noise شکل 10 سيگنالهاي خطاي کنترلی براي تعقيب مسير سينوسی در حضور نويز 3-6- اعمال اثر نويز بهمنظور بررسی ميزان مقاومت کنترلر در برابر نويز فرض شده است که اندازهگيري متغيرهاي حالت با نويز همراه باشد بدين منظور نويز سفيد با واريانس 0.001 به متغيرهاي حالت سيستم اضافه شده و نتايج ارائه شده است. با توجه به اينکه چنين نويزي در اندازهگيريهاي واقعی با استفاده از ابزارهاي اندازهگيري امروزي معمو اال اتفاق نمیافتد اين نتايج میتواند مقاومت مناسب روش کنترلی پيشنهادي را نشان دهد. در "شکل 9" مشاهده میشود که مسير سينوسی در صفحه کارتزين توسط ربات متحرک با شروع از شرايط اوليه دلخواه خارج از مسير پس از پاسخ گذراي خود به خوبی دنبال گرديده است. در "شکل 10" سيگنالهاي خطاي کنترلی براي تعقيب مسير ربات ترسيم شده است. در "شکل 11" نيز وروديهاي کنترلی ارائه شدهاند. همانگونه که مشاهده میشود با توجه به نويز اندازهگيري اضافه شده که در استفاده از وسايل اندازهگيري امروزي کمتر اتفاق میافتد و حتی امکان فيلتر آنها وجود دارد پاسخهاي سيستم مطلوب بوده و کنترلر در برابر نويز از خود مقاومت نشان داده است. 4-6- مقايسه عملکرد روش پيشنهادي با روش بر مبناي لياپانوف در اين قسمت ميان عملکرد روش کنترلی ارائه شده و کنترل سينماتيکی بر مبناي لياپانوف پيشنهاد شده توسط نويسندگان در مرجع [1] مقايسهاي انجام شده است. اندازهگيري Fig. 11 Kinematic control inputs in presence of measurement noise شکل 11 وروديهاي کنترلی سينماتيکی در حضور نويز اندازهگيري

توسط ربات متحرک با شروع از شرايط اوليه دلخواه خارج از مسير پس از پاسخ گذراي خود توسط دو روش کنترلی دنبال گرديده است. در "شکل 13" نيز وروديهاي کنترلی سينماتيکی براي دو روش ارائه و مقايسه شدهاند. نتايج نشاندهنده آن است که عملکرد روش ارائه شده با شرايط يکسان براي دو کنترلر داراي نوسانات کمتر پاسخها و وروديهاي کنترلی سيستم است. همچنين زمان نشست کنترل پيشبين کمتر بوده و فراجهش آن کمی کمتر است. در مجموع نتايج و مطالعات موردي انجام گرفته کارايی مناسب روش ارائه شده را نشان میدهد. 7- نتیجهگیری در اين مقاله مسائل کنترلی تعقيب مسيرهاي حرکت مرجع و پايدارسازي حول يک نقطه مطلوب براي يک ربات چرخدار داراي تريلر به عنوان يک سيستم غيرخطی کم عملگر و غيرهولونوميک توسط روش کنترل پيشبين مورد بررسی قرار گرفت. روش کنترلی ارائه شده برمبناي کمينه سازي تابع هدف متشکل از مربعات خطاي تعقيب و انرژي کنترلی عمل مینمايد. قانون کنترلی براي اين روش بهصورت تحليلی بهدست آمده و معادالت آن در مقاله حاضر ارائه گرديد. ابتدا مدل رياضی سيستم استخراج گرديد. سپس مسيرهاي حرکت مرجع مناسب براي ربات توليد گرديد و يک کنترلر پيشبين براساس فيدبک حالتهاي سيستم براي ربات طراحی گرديد. همچنين با تغييراتی در الگوريتم طراحی شده از آن در حل مساله کنترلی پايدارسازي حول وضعيتهاي مطلوب استفاده گرديد. نتايج بهدست آمده کارآمد بودن روش ارائه شده براي کنترل ربات در تعقيب مسيرهاي زمانی مرجع مختلف و پايدارسازي حول وضعيتهاي مطلوب را تاييد مینمايند. 8- تقدير و تشکر اين تحقيق در گروه مهندسی مکانيک دانشگاه خوارزمی و تحت حمايت مالی معاونت پژوهشی دانشگاه خوارزمی انجام شده که در اينجا از حمايتهاي صورت گرفته توسط اين معاونت قدردانی میشود. 9- مراجع [1] A. Keymasi Khalaji, S. A. A. Moosavian, Robust Adaptive Controller for a Tractor-Trailer Mobile Robot, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, Vol. 19, No. 3, pp. 943-953, 2014. [2] A. Keymasi Khalaji, M. R. Bidgoli, S. A. A. Moosavian, Non-model-based control for a wheeled mobile robot towing two trailers, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part K: Journal of Multi-body Dynamics, Vol. 229, No. 1, pp. 97-108, 2015. [3] A. Keymasi Khalaji, S. A. A. Moosavian, Dynamic Modeling and Tracking Control of a Car with n Trailers, Journal of Multi-body System Dynamics, Vol. 37, No. 2, pp. 211-225, 2015. [4] G. Campion, G. Bastin, B. Dandrea Novel, Structural properties and classification of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots, IEEE Transactions on Robotics and Automation, Vol. 12, No. 1, pp. 47-62, 1996. [5] I. Kolmanovsky, N. H. McClamroch, Developments in nonholonomic control problems, IEEE Control Systems Vol. 15, No. 6, pp. 20-36, 1995. [6] C. Altafini, Path following with reduced off-tracking for multibody wheeled vehicles, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 11, No. 4, pp. 598-605, 2003. [7] L. Chang Boon, W. Danwei, GPS-Based Path Following Control for a Car- Like Wheeled Mobile Robot With Skidding and Slipping, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol. 16, No. 2, pp. 340-347, 2008. [8] A. Keymasi Khalaji, S. A. A. Moosavian, Stabilization of a tractor-trailer wheeled robot, Journal of Mechanical Science and Technology, Vol. 30, No. 1, pp. 421-428, 2016. [9] A. Keymasi Khalaji, S. A. A. Moosavian, Switching Control of a Tractor- Trailer Wheeled Robot, International Journal of Robotics and Automation, Vol. 30, No. 2, 10.2316/Journal.206.2015.2.206-4068, 2015. [10] A. Keymasi Khalaji, S. A. A. Moosavian, Fuzzy Sliding Mode Control Law for a Wheeled Mobile Robot Towing a Trailer, Journal of Modares Mechanical Engineering, Vol. 14, No. 4, pp. 91-98, 2014 (Written in Persian). [11] A. Khanpoor, A. K. Khalaji, S. A. A. Moosavian, Modeling and control of an underactuated tractor trailer wheeled mobile robot, Robotica, Vol. 35, No. 12, pp. 2297-2318, 2017. [12] Z. Peng, S. Yang, G. Wen, A. Rahmani, Y. Yu, Adaptive distributed formation control for multiple nonholonomic wheeled mobile robots, Neurocomputing, Vol. 173, No. 3, pp. 1485-1494, 2016. [13] M. Rahmani, A. Ghanbari, M. M. Ettefagh, Robust adaptive control of a bioinspired robot manipulator using bat algorithm, Expert Systems with Applications, Vol. 56, pp. 164-176, 10.1016/j.eswa.2016.03.006, 2016. [14] A. Keymasi Khalaji, S. A. A. Moosavian, Adaptive sliding mode control of a wheeled mobile robot towing a trailer, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, Vol. 229, No. 2, pp.169-183, 2014. [15] M. Rahmani, A. Ghanbari, M. M. Ettefagh, Hybrid neural network fraction integral terminal sliding mode control of an Inchworm robot manipulator, Mechanical Systems and Signal Processing, Vol.80, pp. 117-136, 2016. [16] M. Rahmani, A. Ghanbari, M. M. Ettefagh, A novel adaptive neural network integral sliding-mode control of a biped robot using bat algorithm. Journal of Vibration and Control, 10.1177/1077546316676734, 2016. [17] A. Keymasi Khalaji, S. A. A. Moosavian, Modified transpose Jacobian control of a tractor-trailer wheeled robot, Journal of Mechanical Science and Technology, Vol. 29, No. 9, pp. 3961-3969, 2015. Fig. 12 Comparison of motion path for the robot and the circular reference path for predictive control and Lyapunov-based method presented in [1] شکل 12 مقايسه مسير حرکت ربات و مسير مرجع دايروي کنترل پيشبين و کنترل برمبناي لياپانوف ارائه شده در [1] Fig. 13 Comparison of kinematic control inputs for predictive and Lyapunov-based controllers presented in [1] شکل 13 مقايسه وروديهاي کنترلی سينماتيکی کنترل پيشبين و کنترل برمبناي لياپانوف ارائه شده در [1]

6, pp. 460-469, 2007. [23] D. Gu, H. Hu, Neural predictive control for a car-like mobile robot, Robotics and Autonomous Systems, Vol. 39, No. 2, pp. 73-86, 2002. [24] W. F. Lages, J. A. Vasconcelos Alves, Real-time control of a mobile robot using linearized model predictive control, IFAC Proceedings Volumes, Vol. 39, No. 16, pp. 968-973, 2006. [25] A. Luca, G. Oriolo, C. Samson, Feedback control of a nonholonomic car-like robot, Lecture Notes in Control and Information Sciences in: J. P. Laumond, Robot Motion Planning and Control, Eds., pp. 171-253: Springer Berlin Heidelberg, 1998. [26] M. G. Villarreal-Cervantes, J. F. Guerrero-Castellanos, S. Ramírez-Martínez, J. P. Sánchez-Santana, Stabilization of a (3,0) mobile robot by means of an event-triggered control, ISA Transactions, Vol. 58, pp. 605-613, 10.1016/j.isatra.2015.06.013, 2015. [18] M. S. Miah, W. Gueaieb, Mobile robot trajectory tracking using noisy RSS measurements: An RFID approach, ISA Transactions, Vol. 53, No. 2, pp. 433-443, 2014. [19] Y. H. Chang, C. W. Chang, C. L. Chen, C. W. Tao, Fuzzy Sliding-Mode Formation Control for Multirobot Systems: Design and Implementation, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B (Cybernetics), Vol. 42, No. 2, pp. 444-457, 2012. [20] C.-Y. Chen, T.-H. S. Li, Y.-C. Yeh, EP-based kinematic control and adaptive fuzzy sliding-mode dynamic control for wheeled mobile robots, Information Sciences, Vol. 179, No. 1 2, pp. 180-195, 2009. [21] E. F. Camacho, C. B. Alba, Model predictive control, Springer Science & Business Media, pp. 51-81, 2013. [22] G. Klančar, I. Škrjanc, Tracking-error model-based predictive control for mobile robots in real time, Robotics and Autonomous Systems, Vol. 55, No.